向量：从箭头到线性组合

向量记录位移

在平面上，v=(2,1) 可以表示“向右 2、向上 1”的位移。画成箭头时，只要长度和方向相同，平移后仍代表同一自由向量。

如果先走 u=(1,2)，再走 v=(2,1)，总位移就是

u+v=(3,3).

数乘 2v=(4,2) 表示同方向的双倍位移；-v=(-2,-1) 表示反方向。

表达式 au+bv 就叫 u,v 的线性组合。改变系数，我们可以得到不同向量。

如果 u=(1,0)、v=(0,1)，任何 (a,b) 都可以由 au+bv 得到。如果 u=(1,0)、v=(2,0)，线性组合永远只能在横轴上。

线性组合能到达的范围，取决于向量提供了多少独立方向。

用 u=(1,1)、v=(1,-1) 表示 (4,2)。你需要解出 a+b=4、a-b=2，得到 a=3,b=1。

画出这两个基础箭头，检查 3u+v 怎样到达目标点。这个过程就是坐标表达的几何来源。