条件概率：改变你正在看的范围

信息改变了分母

考虑一个简化的有限模型：100 个等可能结果中，事件 B 包含 20 个结果，其中 8 个同时属于 A。

得知 B 已发生后，我们只在这 20 个结果里讨论。于是

条件概率的分母是条件事件的概率，而且要求 P(B)>0。

为什么不能交换条件方向？

如果 A 一共有 10 个结果，那么

两次的交集相同，筛选后的总范围却不同，所以结果不相等。

独立是一种额外关系

若 A 与 B 独立，则 P(A\cap B)=P(A)P(B)。当 P(B)>0 时，这等价于 P(A\mid B)=P(A)：知道 B 并不改变对 A 的概率判断。

不能从“两个事件名称不一样”判断独立，也不能从“互斥”判断独立。两个非零概率的互斥事件，一旦知道一个发生，另一个就不可能发生。

检查理解

重新画出 100 个格子的示意图，圈出 A、B 与它们的交集。用两种颜色标出两次条件概率的分母。

不使用公式，你能解释为什么两个方向的条件概率可能不同吗？