两枚骰子的和，哪一个更容易出现？
掷两枚公平骰子，点数和可能是 2 到 12，共 11 种。有人据此说：“每个和的概率都是 1/11。”但和为 2 只能来自两个 1，和为 7 却可以来自 1 与 6、2 与 5、3 与 4 等。
“可能出现”不等于“机会一样”。概率的计数公式要建立在正确的基本结果上，而不是随便给结果起几个名字就平均分配。
先画出每一种基本结果
把两枚骰子区分为红色与蓝色，结果记为有序对 (r,b)。红骰有 6 种，蓝骰也有 6 种。若它们公平且独立，36 个有序对各有概率 1/36。
下面每个格子对应一个有序对；格内数字只是它们的和。行决定红骰，列决定蓝骰。
| 红\蓝 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
自己圈出和为 7 的格子，它们位于一条斜线上，共 6 个。和为 2 只有左上角 1 个。这张静态表已经完整展示结果空间，本篇不需要动画来替代计数。
正式定义：哪些结果可以被平均分？
一次随机试验的所有基本结果组成样本空间，记为 \Omega。一个事件 A 是我们关心的一组基本结果，例如“点数和为 7”。
若样本空间中有有限个 n>0 的基本结果，并且它们等可能，事件 A 包含其中 m 个，则
n 是全部等可能基本结果数，不是事件名称数；m 是满足条件的基本结果数。有限性保证可以这样逐个计数，等可能性保证每个格子权重相同，n>0 保证分母有意义。
袋里有三红一蓝四个相同大小、均匀混合的球，随机取一个；基本结果应当先区分四个球，而不是仅分成“红”和“蓝”两种颜色。颜色是把多个基本结果归为同一事件。
公式为什么是 m/n？
设每个等可能基本结果概率为 p。一次试验必落在某个基本结果中，总概率为 1；这些结果两两不同时发生，因此 np=1，即 p=1/n。事件 A 是其中 m 个互斥结果的并，所以 P(A)=mp=m/n。
这说明公式不是“主观觉得应该平均”。它依赖已经说明的等可能模型。若基本结果权重不同，需要把各自的概率相加，不能只用个数。
三个例子
简单： 公平骰子掷出偶数，事件含 2、4、6，概率 3/6=1/2。这里不是说每两次一定出一次偶数。
标准： 两枚公平独立骰子点数相同，事件含 (1,1),\ldots,(6,6) 六个格子，概率为 6/36=1/6。点数和为 7 同样含六格，所以也为 1/6。事件内容不同，可以有相同概率。
反直觉： 三红一蓝袋中随机取球，红色概率为 3/4，不是 1/2。只有两种颜色，也不意味着这两个事件等可能。
一个重要反例：合并后不再等可能
两骰子的 11 种和不是等可能基本结果。“和为 2”合并了 1 格，“和为 7”合并了 6 格。把36格压成11个标签后，各标签的权重不相同。所以分别有 1/36、6/36，而不是统一 1/11。
即使看起来同为“一种结果”，背后可能包含不同数量的基本结果。概率分析的首要任务是找对粒度，再检查权重。
还要注意“独立”：假如两枚骰子被人为联动，永远显示同样点数，那么每枚单独看都可能公平，但有序对只会出现六种同点结果。不能从“每枚公平”单独推出36格等可能；两枚独立是额外假设。
小实验：频率会波动
手掷公平硬币 20 次，记录正面次数，除以 20 得到频率。模型中的正面概率是 1/2，这次观察的频率却可能是 8/20 或 12/20。重复实验会得到不同频率。
长期大量独立重复时，频率通常更接近概率，这支持模型检验；有限次数不保证精确相等，也不保证每增加一次就更接近。某次偏离不是立刻否定模型的证据，需要结合样本量与偏离程度进一步判断。
常见误解
- “结果列了几种，就平均分成几份。” 要证明或合理假设这些基本结果等可能，否则计数比没有依据。
- “两个骰子互换没区别，所以只数不重复的无序对。” (1,2) 与 (2,1) 是两个等可能格子；合并后不同标签的权重可能不同。
- “概率 1/2 意味着每两次一次。” 概率描述模型，不规定短期排班，连续几次同一结果仍可能发生。
- “连续五次正面，下次更该反面。” 公平独立重复时，下次仍为 1/2；历史不改变这个模型中的下一次概率。
它和哪些知识连接？
必要前置是分数、列表和简单乘法计数。条件概率会把整张结果表缩小到已知条件对应的格子，重新计算分母。方差描述数值结果的离散程度；例如两骰点数和并不等可能，因此若讨论它的平均，要按概率权重处理，不能把 11 个和假装为等可能。
练习
- 用自己的话解释为什么概率计数不能只数“结果的名字”。
- 一枚公平骰子掷出大于 4 的数，概率多少？列出事件。
- 两枚公平独立骰子的和为 8，概率多少？列出所有有序对。
- 三红两蓝五个同样大小且均匀混合的球，随机取一个，红色概率多少？如果只知道有两种颜色却不知道数量，能算吗？
- 如果取消“等可能”，一枚偏骰每面概率都未知，掷出偶数还能直接说是 3/6 吗？应怎样表达？
- 两枚公平独立骰子中，已知红骰为 6，点数和大于 9 的概率多少？先画出筛选后的范围。
- 公平硬币连续四次正面，下一次正面概率多少？说清需要什么假设。
- 有两个独立公平硬币，至少一次正面的概率是多少？“一次正面、一次反面”为什么不能只数作一个等可能基本结果？
练习提示
题 1
一个标签可能合并多个基本格子。
题 2
“大于”不包括 4。
题 3
从 r+b=8 且两数都在 1 至 6 之间列举。
题 4
数球，不是数颜色。
题 5
三种偶数结果的概率可以相加。
题 6
只看表格第六行，蓝骰有哪些点数满足？
题 7
公平与各次独立都要说明。
题 8
先列两个硬币的有序结果，共四格。
练习答案
题 1
不同名字可能包含不同数量或权重的基本结果，比如两骰和为 7 包含六格，和为 2 只有一格。只有等可能的基本格子才能按数量平均。
题 2
事件是 \{5,6\}，概率 2/6=1/3。
题 3
有 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 五个，概率 5/36。
题 4
五个球作为等可能基本结果，红色含三个，概率 3/5。只知道颜色种数不够，还需各色数量及均匀抽取的模型。
题 5
不能。若各面概率为 p_1,\ldots,p_6，则偶数概率为 p_2+p_4+p_6；没有给出这些值，不能得到具体数值。
题 6
条件筛选后剩 (6,1),\ldots,(6,6) 六个等可能结果。和大于 9 要求蓝骰为 4、5、6，因此条件概率 3/6=1/2。分母不能继续写 36。
题 7
若硬币公平且各次投掷独立，下一次正面概率仍为 1/2。连续四次正面不提供“下一次必须补偿”的规则；若模型不独立，则不能据此结论。
题 8
四个等可能有序结果为正正、正反、反正、反反。至少一次正面含前三格，概率 3/4。“一正一反”合并正反与反正两格，概率 1/2，与正正或反反的 1/4 不同。
如果你真的理解了
- 怎样判断一个结果列表是否足以支撑 m/n？
- 合并基本结果后，为什么等可能性可能消失？
- 公平与独立分别保证了两骰子模型中的什么？
- 为什么得知红骰为 6 后，需要换分母，而不仅改变分子？
- 概率与某一次短期实验的频率，分别描述什么？