导数真正表示什么？从斜率到局部线性化

先问：变化发生得有多快？

想象你在一条弯曲的道路上行走。位置告诉我们你在哪里，变化率告诉我们这一刻位置怎样变化。

对于 y=f(x)，从 x 到 x+h 的平均变化率是

它对应连接图像上两个点的割线斜率。它描述的是一段变化，还不是一个点的变化。

两个点靠近，割线趋向切线

如果当 h\to0 时平均变化率有有限的极限，就把这个极限称为导数：

下面的演示固定一个正弦函数。缩小两点距离，比较割线和切线斜率。拖动观察点，再看同一条曲线在不同位置怎样变化。

这里 f(x)=\sin x 的输入以弧度计，导数是 \cos x。两点距离只能取正值的滑块帮助建立右侧靠近的直觉；导数定义通常要求两侧得到同一极限。

更深的一层：局部线性化

如果函数在 a 可导，那么在 a 附近，函数可以用一个简单的直线模型描述：

这个余项条件说：误差相对于输入变化 h 更快地趋于零。导数就是这个线性模型中唯一的斜率。

可导不仅表示“存在切线”。它还给出一种准确的近似意义：一阶误差比输入变化更小。

自己推导一次

以 f(x)=x^2 为例：

因此局部线性模型是 a^2+2ah，导数为 2a，误差是 h^2。因为 h^2/h=h\to0，它确实满足刚才的条件。

在 a=2、h=0.1 时，近似值为 4.4，真实值为 4.41，误差为 0.01。试着把 h 减半，比较误差发生了什么。

一个边界：连续不等于可导

函数 f(x)=|x| 在 0 连续，但左侧平均变化率为 −1，右侧为 1。没有一个共同的斜率能完成双侧局部线性化，所以它在 0 不可导。¹

检查你的理解

1. 函数值是 10，导数是 0，这两条信息矛盾吗？
2. 导数是负数，是否意味着函数值也是负数？
3. 为什么 h=0 不能直接代入差商？
4. 用自己的话说明，导数怎样提供一个点附近的线性模型。

可以用这段代码核对二次函数近似：

a, h = 2, 0.1
approx = a*a + 2*a*h
actual = (a+h)**2
print(approx, actual, actual-approx)