极限：关心靠近时发生什么

一个看起来无法代入的式子

考虑

直接代入 x=1 会出现分母为零。但我们可以问另一个问题：当输入接近 1 时，输出接近哪里？

当 x\ne1 时，因式分解得到 f(x)=x+1。因此输入靠近 1 时，输出靠近 2。

趋势与点上的值分开

我们写

这句话不要求原函数在 1 处有定义。就算人为定义 f(1)=100，靠近 1 时的趋势仍然是 2。

“可以靠近”也不等于“永远碰不到”。极限研究的是邻近输入的行为；函数是否在该点取值，是另一个问题。

“足够接近”应该有多准确？

给定你要求的输出误差 \varepsilon>0，我们需要能找到一个输入范围 \delta>0，使得所有满足 0<|x-1|<\delta 的输入都有 |f(x)-2|<\varepsilon。

在本例中 |f(x)-2|=|x-1|，所以选择 \delta=\varepsilon 就能做到。这不是有限次试算，而是对整个邻域的保证。

检查理解

如果定义 g(x)=1（x<0）和 g(x)=2（x\ge0），那么在 0 两侧看到的趋势不同，所以双侧极限不存在。

用自己的话解释：为什么改变 g(0) 一个点的值，无法修补两侧趋势的冲突？