平均数相同，却不像同一种表现

两组练习完成时间（分钟）是 A：4、5、6，B：1、5、9。平均数都是 5，但 A 的时间比较稳定，B 可能很快，也可能很慢。

平均数回答“中心在哪里”，没有回答“离中心有多远”。如果只报平均数，就会把两组很不一样的数据压缩成同一个数。我们需要一个描述离散程度的量。

为什么不能直接平均离差？

把每个数据减去均值：A 的离差是 −1、0、1，B 是 −4、0、4。直接相加，两组都得到零：正负抵消掩盖了偏离。

这不是碰巧。如果数据为 x_1,\ldots,x_n，均值为 \bar x，那么

\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)=\sum_{i=1}^n x_i-n\bar x=0.

所以要先把离差变为非负，再汇总。取绝对值是一种合理办法；取平方是另一种。本文研究平方方式，它对大的偏离更敏感，还方便代数计算。不能说“只有平方才能描述稳定性”。

先让一个数据离开队伍

演示中前四个数据固定为 4、5、5、6，只改变第五个。先预测它从 5 变成 15 时，均值与方差各怎样变化；注意均值也会移动，并非固定在 5。

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再比较第五个为 4、6 时的结果。两组绕 5 对称，方差应该相同。图中的竖线是距离，公式里用距离的平方；“看着更分散”只是猜测，具体值由定义计算。

正式定义：这里除以的是 n

对 n\ge1 个实际数值，先定义均值

\bar x=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}.

这组数据的方差定义为

s^2=\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n}.

n 是数据个数，s^2 是方差的记号，不是说可以直接把平均离差平方。顺序是：每个离差分别平方，再求平均。

这里描述的是所列整组数据的离散程度，用分母 n，符合本篇初中口径。以后用样本估计总体时会遇到分母 n-1 的另一种量；那有不同的估计目的，不能在本题里混用。

为什么每一个部分都需要？

减均值是为了围绕本组数据的中心比较；平方是为了避免正负抵消，并加重较大偏离；除以数据个数则得到每个数据的平均平方偏离，避免单纯因为列得多而增大总量。

方差非负，因为每项平方非负。当且仅当全部数据等于均值时，方差为零：如果平方和为零，每一项只能都为零。于是“零方差”意味着完全无离散，而不是“均值为零”。

若数据单位为分钟，方差单位为平方分钟；开正平方根得到标准差，单位才回到分钟。本文不要求额外记标准差公式，但要理解方差不能直接被当成普通时间差。

正式推导：平移不变，缩放乘平方

将每个数据变成 y_i=cx_i+d，其中 c,d 是常数。新均值为 \bar y=c\bar x+d。因此

y_i-\bar y=c(x_i-\bar x).

每个新离差平方是原来的 c^2 倍，求平均后有

s_y^2=c^2s_x^2.

整体加 d 只是中心移动，离散不变；整体乘 c 则改变偏离尺度。即使 c<0，平方仍非负；c=0 时所有数据变成同一个数，方差为零。

三个例子

简单： 2、2、2，均值 2，方差 0。这组数据完全相同。

标准： 2、4、6，均值 4，离差平方为 4、0、4，方差 8/3。每个数据都加 10 后变为 12、14、16，均值 14，方差仍为 8/3。

反直觉： 原数据 −1、0、1 的方差为 2/3。把所有数乘以 −2，得到 2、0、−2，方差为 8/3，是四倍而不是“负两倍”。顺序与正负不是离散程度本身。

一个重要反例：平均水平高，不代表更稳定

A：9、10、11，均值 10，方差 2/3；B：4、5、6，均值 5，方差也为 2/3。均值差一倍，方差完全相同。把两组整体放在不同位置，没有改变它们各自围绕中心的分散。

另一个需要认真对待的边界：0、0、10 的均值为 10/3，方差为 200/9。单个远离数据可以显著改变方差，因此“方差大”需要结合数据背景解释，不能立即断言某人表现差或记录有误。

常见误解

  • “方差是所有数据减均值后相加。” 那个和恒为零；必须分别平方再平均。
  • “均值越大，方差越大。” 整体平移反例已经说明二者测量不同特征。
  • “全部乘 2，方差也乘 2。” 离差先乘 2，平方后乘 4。
  • “方差越小一定越好。” 它只表示离散程度小；好坏取决于目标，稳定地低于标准也未必好。

它和哪些知识连接？

必要前置是平均数、平方与简单代数。方差属于统计，本网站把这篇放在“概率与统计”领域的现有概率目录。等可能概率会把数据的平均连接到随机结果；条件概率提醒我们，筛选观察范围后，需要重新讨论那一组的中心与离散。它们是后续联系，不是本篇前置。

练习

  1. 用自己的话说明平均数和方差分别保留了数据的什么信息、丢掉了什么信息。
  2. 求 3、5、7 的均值与方差，写出每个离差平方。
  3. 所有数据都加 8，均值与方差如何变化？所有数据都乘 3 呢？
  4. 如果取消“每个离差先平方”的步骤，直接平均有符号离差，会得到什么？为什么不能衡量离散？
  5. 构造两组各三个数，均值都为 4，但方差不同。
  6. A：6、6、6；B：5、6、7。若合格线为 8，A 的方差更小是否意味着 A 更合格？
  7. 数据只有一个数 9 时，本篇方差是多少？如果改用分母 n-1，会发生什么？
  8. 一组数据方差为 2，把每个数据 x 改成 -3x+5，新方差是多少？解释正负号和加 5 的作用。

练习提示

题 1

比较本文开头两组同均值数据。

题 2

围绕均值算，最后除以 3。

题 3

分别使用平移与缩放关系。

题 4

使用离差和的恒等式。

题 5

一组全相等，另一组在两边摆开。

题 6

离散程度与达标水平是两个标准。

题 7

先按本文分母 n 计算。

题 8

c=-3,d=5，方差只保留 c^2。

练习答案

题 1

均值记录中心，但无法单独描述离散；方差记录平均平方偏离，但不直接报告中心，也不能还原每一个数据。例如 4、5、6 与 1、5、9 均值相同而方差不同。

题 2

均值为 5，离差为 −2、0、2，平方为 4、0、4，方差为 8/3。

题 3

加 8 后均值加 8，方差不变。乘 3 后均值乘 3，方差乘 9，因为每个离差也乘 3。

题 4

恒为零，分散与不分散的数据都得到零，无法区分。正负偏离被抵消了。

题 5

例如 4、4、4 的方差为 0；2、4、6 的方差为 8/3。两组均值都为 4。

题 6

不能。A 方差为 0，B 为 2/3，但全部数据都低于 8。稳定性不等于达到标准。

题 7

均值为 9，方差为 (9-9)^2/1=0。若改用 n-1=0，分母为零，不可定义；说明两种口径不能随意替换。

题 8

新方差为 (-3)^2\times2=18。负号翻转数据位置，平方后消失；加 5 整体平移，不改变离差。

如果你真的理解了

  • 为什么有符号离差不能直接拿来平均？
  • 你能区分“平均离差的平方”与“离差平方的平均”吗？
  • 为什么平移不改变方差，而单位从米变厘米会使方差乘 10000？
  • 哪种实际问题需要同时报告均值与方差，而不能只报其中一个？