直尺靠近圆，什么时候刚好碰到？
画一个圆，让一把直尺的边从外侧向圆心方向平移。一开始没有交点；靠近到某个位置只碰一点；再往里则穿过两点。我们希望不用凭画图精度，就能判断“刚好碰到”的位置。
圆上所有点到圆心 O 的距离都是半径 r。而直线上的点到 O 的距离不相同：距离最短的那个点是垂足 T。这个最短距离，会成为判断的关键。
先观察距离与交点数
演示中半径为 2。把直线高度从 3 降到 2，再到 1；随后调到 −2，观察圆下方是否同样相切。
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滑块的 d 表示带正负号的高度，几何距离是 |d|。距离不能为负。T 是垂足，只在相切时才叫切点；直线经过圆心时，T 与 O 重合。
直觉解释： 图像提示，最短距离大于、等于、小于半径时，交点数分别为 0、1、2。下面用勾股定理说明这是严格结论。
正式定义与条件
一条直线与一个半径 r>0 的圆只有一个公共点，就称它是圆的切线；该公共点称切点。这里讨论的是整条无限延伸的直线与圆周，不是有限线段与圆盘。
圆心到直线的距离定义为垂线段长度 OT，记为 \delta\ge0。
| 圆心到直线的距离 | 与圆的位置关系 |
|---|---|
| \delta>r | 相离，没有公共点 |
| \delta=r | 相切，一个公共点 |
| \delta<r | 相交，两个公共点 |
圆的半径不能为零，否则退化为点，正常的切线性质失去原来的含义。
正式证明：为什么只有垂足能刚好接触？
任取直线上的点 X。若 X 不等于 T，三角形 OTX 是直角三角形，勾股定理给出
当 X=T 时同一个距离等式仍成立，因为 TX=0。点 X 在圆上，正是要求 OX=r，于是
如果 \delta>r，右边负，无解；如果 \delta=r，只有 TX=0，即 X=T；如果 \delta<r，垂足两侧各有一个距离为 \sqrt{r^2-\delta^2} 的点。因此恰有两个交点。圆心位于直线上时也一样：两点是以 O 为中点的直径两端。
这同时证明了两个方向：若直线是切线，则唯一切点就是垂足，所以过切点的半径垂直于切线；反过来，若直线经过圆上点 T 且垂直于 OT，就有距离等于半径，故它是切线。
三个例子
简单： 半径为 3，圆心到直线距离为 3，是切线；若距离为 4，则相离。
标准： 半径为 5，距离为 3，交点到垂足距离为 \sqrt{25-9}=4。两交点分别在垂足两侧，弦长为 8。不能把单侧长度 4 误报成整条弦长。
反直觉： 一条直线与半径为 2 的圆相切，它可以位于圆心上方，也可以在下方。带符号的高度为 2 和 −2 都满足距离为 2，所以“负高度”并不意味着没有切线。
重要反例：垂直于半径所在直线，未必相切
以原点为圆心、半径 2 的圆，半径沿正横轴。竖直直线 x=1 垂直于这条半径所在直线，却与圆有两个交点；x=3 同样垂直，却没有交点。只有经过半径端点的 x=2 才相切。
所以判定里必须同时出现“经过圆上点”与“垂直于该点半径”。只记住一个直角，会把位置条件丢掉。
另一个边界：从圆上某点沿割线截取一小段，线段可能只含一个圆上点，但延长后割线还会交到第二点。一个线段只有一个公共点，不能自动证明它所在的直线是切线。
常见误解
- “切线不能进入圆，所以看图就够。” 图的线宽与精度有限，正式判定依赖距离或圆上点加垂直条件。
- “任意半径都垂直于切线。” 只有连接圆心与切点的那条半径垂直。
- “有一个直角就是切线。” 必须说明直线经过半径的圆上端点；否则可能相交或相离。
- “垂足总是切点。” 垂足属于直线；只有距离等于半径时，它也在圆上，才能成为切点。
它和哪些知识连接？
必要前置是垂线距离与勾股定理。圆周角用等腰三角形研究圆上的角；锐角三角比可进一步计算切线问题中的长度。导数也研究切线，但对一般曲线，不能直接把“只有一个公共点”当作通用定义：直线可以在一个点附近相切，又在别处交到曲线。圆的定义有特定对象范围。
练习
- 用自己的话解释为什么圆心到直线的最短距离能决定交点数。
- 半径为 4，距离分别为 2、4、5 时，判断位置关系。
- 半径为 10，圆心到弦所在直线的距离为 6，求弦长。
- O 为圆心，A 在圆上，直线经过 A 且垂直 OA。为什么可以判定相切？把理由写成距离语言。
- 如果取消“A 在圆上”，保留直线在 A 处垂直 OA，怎样给出不相切的例子？
- 半径为 5，圆外点 P 满足 OP=13，PT 为切线、T 为切点，求 PT，并说明所用直角在哪里。
- 有人说“直线与圆只有一个交点，所以圆心到直线的距离小于半径”，错在哪里？
练习提示
题 1
直线上其他点的距离平方多出 TX^2。
题 2
逐个与半径比较。
题 3
先求半弦，再乘 2。
题 4
A 就是圆心到直线的垂足。
题 5
选 A 在圆内或圆外。
题 6
切点处半径垂直切线，OP 是斜边。
题 7
距离小于半径时，垂足两侧各有一个交点。
练习答案
题 1
垂足最接近圆心，其他点因沿直线离开垂足而增加距离。要落到圆上，其距离平方必须等于 r^2，所以可以用 TX^2=r^2-\delta^2 判断零个、一个或两个位置。
题 2
距离 2 小于 4，相交；距离 4 等于半径，相切；距离 5 大于半径，相离。
题 3
半弦长 \sqrt{10^2-6^2}=8，弦长为 16。
题 4
OA 垂直直线，所以 A 是垂足；A 在圆上给出 OA=r。因此圆心到直线距离为 r，直线是切线。
题 5
圆心为原点、半径为 2，选 A=(1,0)，直线 x=1。它垂直 OA，却因距离 1 小于半径而相交。A 不在圆上。
题 6
OT\perp PT，直角在 T。PT=\sqrt{OP^2-OT^2}=\sqrt{169-25}=12。
题 7
一个交点意味着相切，距离应等于半径。若距离小于半径，TX 有正的长度，垂足两侧产生两个不同交点。
如果你真的理解了
- 为什么切线判定需要“圆上点”与“垂直”两个条件？
- 你能从勾股等式恢复三种位置关系吗？
- 垂足与切点什么时候是同一个点，什么时候不是？
- 为什么“一个公共点”的圆切线定义不能直接推广到所有曲线？