没办法爬上去，怎样测高度？

你站在水平地面上，与一根垂直旗杆的底部相距 10 米。眼睛看向杆顶，视线与水平线夹角为 30^\circ。怎样不用爬上去，求杆顶比眼睛高多少？

角度只描述方向，距离描述尺度。需要一种语言把二者连接起来。一个倾斜方向固定时，水平移动相同倍数，竖直上升也应当按同一倍数变化；真正保持的不是某条边，而是边与边之间的比。

先看一组同形三角形

在直角三角形中固定一个锐角 \theta，把整个图形放大。直角与这个锐角分别相等，由相似的 AA 判定，三个对应边同时乘以同一个 k，于是任意两条对应边的比不变：ka/(kc)=a/c。

先固定演示角度为 30^\circ，只改变斜边长度。预测三个比值会不会变化；再改角度，观察比例才怎样变化。

交互演示加载中。启用 JavaScript 后可调整参数观察变化。

直觉解释： 缩放实验帮助看见比例不变。严格依据是相似三角形的对应边成比例。演示使用度数，计算时转换成弧度，不会把 30^\circ 当成 30 弧度。

正式定义：先选角，再命名边

取一个直角三角形中的锐角 \theta，满足 0^\circ<\theta<90^\circ。

  • 斜边：直角对着的边，记为 c。
  • 对边：与 \theta 相对的直角边，记为 a。
  • 邻边：贴着 \theta 的那条直角边，记为 b，不包括斜边。

定义

\sin\theta=\frac ac,\qquad \cos\theta=\frac bc,\qquad \tan\theta=\frac ab.

这三个比依次叫正弦、余弦、正切。相似保证它们只依赖角 \theta，不依赖画了多大的三角形。

直角保证有唯一的斜边，非退化的锐角保证 a,b,c 都正且分母不为零。如果删掉“直角”，同一个角不再唯一决定这些边长比；如果把角换成另一个锐角，对边与邻边会互换。

从定义推出公式，而非另背一套

勾股定理 a^2+b^2=c^2 两边除以 c^2，得到

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.

这里 \sin^2\theta 表示 (\sin\theta)^2，不是 \sin(\theta^2)。两个投影所占的平方比例合起来恰好为 1。

再把定义的两个比相除：

\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{a/c}{b/c}=\frac ab=\tan\theta.

邻边为正，所以此处 \cos\theta\ne0，除法合法。另一个锐角是 90^\circ-\theta，它的对边是原来的邻边，因此 \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta。这解释了互余角关系。

特殊角为什么能精确计算？

45^\circ 直角三角形的两直角边相等。取它们都为 1，斜边为 \sqrt2，所以正弦、余弦都是 \sqrt2/2，正切为 1。

将边长为 2 的等边三角形从顶点向对边作高，分成两个直角三角形。它们斜边为 2，短直角边为 1，长直角边为 \sqrt3，所以

\sin30^\circ=\frac12,\quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}.

这张“特殊角表”的来源是简单几何，不是计算器制造出的数字。

三个例子

简单： 直角三角形边为 3、4、5。若 \theta 对着长度 3 的边，\sin\theta=3/5、\cos\theta=4/5、\tan\theta=3/4。换另一锐角，两种直角边的角色互换。

标准： 回到旗杆。杆顶比眼睛高的量为 H，水平距离是邻边 10，所以 H/10=\tan30^\circ，得 H=10/\sqrt3\approx5.77 米。如果眼睛离地 1.6 米，旗杆总高约为 7.37 米。要把观察点高度加回来。

反直觉： 锐角的正弦、余弦都小于 1，但正切可以大于 1。例如 60^\circ 对边比邻边长，\tan60^\circ=\sqrt3。正切的分母不是最长的斜边。

一个重要反例：不是直角三角形就不能这么取比

同样有 60^\circ 的角，等边三角形中“这个角对边/相邻边”为 1；在由等边三角形切出的直角三角形中，60^\circ 的对边/斜边为 \sqrt3/2。不能把任意三角形的某个边比直接称作这个角的正弦。

反例推翻了“只要有角就随便取两边相除”。定义的条件与边的角色共同确保数值唯一。

常见误解

  • “对边是一条固定的边。” 必须先指明所选角；换角时对边、邻边互换。
  • “贴着角的两条边都是邻边。” 在这组定义里邻边特指直角边，斜边单列。
  • “所有三角比都介于 0 与 1。” 对锐角只有正弦、余弦如此，正切可超过 1。
  • “求出的竖直差就是物体总高。” 要检查观察点与底部是否同高，必要时加上眼高。

它和哪些知识连接？

必要前置是相似比，它保证定义不依赖三角形大小。下一步单位圆会把锐角推广到任意角，并解释负值；随后正弦波描述周期变化。圆的切线产生的直角三角形，也可以用这些比计算距离。

练习

  1. 用自己的话解释为什么“只知道一个锐角”就能知道三个比，却不能知道三条边的具体长度。
  2. 直角三角形的斜边为 13，某锐角的对边为 5，求邻边和三个比。
  3. 已知某锐角 \sin\theta=3/5，求 \cos\theta、\tan\theta，解释选正值的理由。
  4. 梯子长 5 米，与水平地面夹角为 60^\circ，其顶部离地多高、底端离墙多远？假定墙与地面垂直。
  5. 如果取消“直角三角形”条件，为什么任意取对边与邻边的比不能定义这个角的正切？给出反例思路。
  6. 眼睛离地 1.5 米，水平距离 12 米，仰角 45^\circ，被测垂直物体总高是多少？
  7. 若 \theta 为锐角，\sin\theta=\cos\theta，不用查表说明 \theta 为多少。

练习提示

题 1

同角的直角三角形可以放大缩小。

题 2

先用勾股定理求第二条直角边。

题 3

使用平方和等于 1，锐角的边长为正。

题 4

高度是所选角的对边，水平距离是邻边。

题 5

在任意三角形里，一个角不能唯一决定另外两个角。

题 6

先算杆顶与眼睛的高度差。

题 7

分母相同，正弦等于余弦意味着两条直角边相等。

练习答案

题 1

角与直角共同确定三角形的形状，相似使三个比保持；整体仍可按任意正比例缩放，因此单独的边长还需要一个尺度信息。

题 2

邻边 \sqrt{169-25}=12。正弦 5/13，余弦 12/13，正切 5/12。

题 3

\cos^2\theta=1-9/25=16/25，锐角余弦为正，所以 \cos\theta=4/5，\tan\theta=(3/5)/(4/5)=3/4。

题 4

高度 5\sin60^\circ=5\sqrt3/2 米，水平距离 5\cos60^\circ=5/2 米。

题 5

固定 60^\circ 角，等边三角形的对边与某邻边比为 1，而含 60^\circ 的直角三角形对边与邻直角边比为 \sqrt3。角相同而比不同，定义会不唯一。

题 6

高度差为 12\tan45^\circ=12 米，总高为 12+1.5=13.5 米。

题 7

a/c=b/c 推出 a=b，直角三角形两锐角相等且和为 90^\circ，因此各为 45^\circ。

如果你真的理解了

  • 为什么相似是三角比定义的根基，而不只是另一个做题知识点？
  • 你能在任意旋转摆放的直角三角形里，准确指出某锐角的三种边吗？
  • 为什么正切可大于 1，正弦却不能在锐角范围内大于 1？
  • 从直角三角形走向单位圆后，哪些限制会改变，哪些比例关系会留下？