复印放大，墨水覆盖多少地方？

把一个三角形的每条边都放大到原来的 2 倍，它的面积也是 2 倍吗？先拿一个长 4、宽 3 的长方形作比较：放大后长 8、宽 6，面积从 12 变为 48，是 4 倍。

长度与面积测量的对象不同。一个方向的尺寸翻倍，另一个方向也翻倍，所以每个小格子会变成四个同样大小的小格子。对三角形仍然这样吗？“样子看起来相同”又需要哪些严格条件？

先看什么保持不变

相似图形的核心不是“大一点”或“小一点”，而是所有对应长度以同一比例改变，角度保持。先找对应的顶点，再比较对应的边；没有对应关系，“边长比”可能拿错对象。

下面用两条直角边为 3、4 的三角形。先把 k 调到 2，再调到 0.5，预测面积分别是原来的几倍。

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直觉解释： 演示按照同一倍数直接构造新图，帮助观察角不变、面积平方变化。观察几帧不是对所有三角形的证明，下面分别说明定义、判定与推导。

正式定义：先约定对应顺序

两个三角形的对应角相等、对应边成比例，就称它们相似。写 \triangle ABC\sim\triangle DEF，表示 A\leftrightarrow D、B\leftrightarrow E、C\leftrightarrow F。从第一个三角形到第二个的相似比定义为

k=\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC},\qquad k>0.

比的方向要说清；反过来从第二个到第一个，比就是 1/k。三角形应当非退化，边长为正，否则角与这些比例不能正常定义。k=1 时相似三角形也是全等三角形；镜像翻转不影响相似，因为角和长度的关系仍保留。

“对应角相等、边成比例”是定义。实际判定三角形相似，不必每项都量：两角分别相等、三边成比例、或两边成比例且夹角相等，都可以判定。夹角条件不能随意删去。

为什么两个角就够？

三角形内角和为 180^\circ，两对角相等时第三对也相等。还要解释边为什么成比例。

以两角相等的三角形为例，在较大的那个中，从对应顶点出发截取一条与小三角形对应边等长的边，再作平行于大三角形第三边的线。平行线保证截出的两个对应角相等；截出的小三角形与原小三角形由一边及其两端角相等而全等。因此截出的边就是原小三角形的边，而平行线分线段成比例保证它们与大三角形的对应边比例相同。这说明 AA 判定连接的是角与长度的共同结构，并不是“角相等所以凭感觉一样”。这里使用已有的平行线比例定理，不把它当成图像观察。

面积为什么乘 k^2？

相似三角形的对应高也成相同比例。理由是：向对应底边作高，得到对应的直角三角形；它们具有相等锐角，且斜边为原来的对应边，因此由相似得到高的比例也是 k。

若原底与高为 b,h，新底与高为 kb,kh，于是

S'=\frac12(kb)(kh)=k^2\cdot\frac12bh=k^2S.

每个因子各带一个 k，两个方向共同贡献平方。周长则只是三条长度相加，所以 L'=kL。面积比和周长比不能混用。

三个例子

简单： 边长为 3、4、5 与 6、8、10 的三角形，三组对应边比都为 2，所以相似；面积比为 4。

标准： 两个相似三角形面积分别为 18 和 50，从小到大面积比为 25/9。相似比为其正平方根 5/3。若小三角形某边为 6，对应的大边为 10。

反直觉： k=1/2 时，周长缩成一半，但面积缩成四分之一。缩小不是对每种量都减去同样百分比。

一个重要反例：两边成比例，还不足以保持形状

取两个三角形，都有两条边长 2、3。第一个的夹角为 90^\circ，第三边由勾股定理为 \sqrt{13}；第二个的夹角为 60^\circ，可作高，把长度 2 的边在底边方向的投影算为 1，高为 \sqrt3，第三边为 \sqrt{(3-1)^2+3}=\sqrt7。前两边的比都是 1，第三边却不相等，因此并不相似。

反例重要之处在于：长度的局部匹配不能代替完整形状条件。“两边成比例”判定还需要夹角相等。

常见误解

  • “边随便比，比例一样就行。” 必须按顶点对应顺序选对应边；先排序或标记，避免短边与长边错配。
  • “相似比永远大于 1。” 放大时大于 1，缩小时小于 1；它依赖比较方向。
  • “相似比就是面积比。” 面积涉及底和高两个长度因子，所以面积比是 k^2。
  • “两对边成比例就相似。” 没有夹角或其他条件，第三边可能改变；上面的反例已经展示。

它和哪些知识连接？

必要前置是角、三角形面积、平行线与比例。后续锐角三角比依赖直角三角形的相似，把边长比变成只由角决定的量。向量提供另一种描述：把各顶点相对某中心的位移都乘 k，就得到一种相似变换；这是扩展联系，不是本文必需的前置。

练习

  1. 用自己的话解释相似比，并说明为什么必须说清比较方向。
  2. 两个三角形边长分别为 2、3、4 与 4、6、8。是否相似？从前者到后者的周长比、面积比各多少？
  3. 相似三角形面积比为 9:16，相应短边为 6，求对应长边。
  4. 两个直角三角形各有一个 35^\circ 的角，为什么相似？三条边是否必须都相等？
  5. 若取消“两边成比例且夹角相等”里的夹角条件，反例应该改变什么？
  6. 一个三角形放大后面积为原来的 9 倍，高是原来的几倍？解释，不要只报数。
  7. 长方形 2×6 与 3×4 面积相同，是否相似？这反驳了什么说法？

练习提示

题 1

同一对象正反比较给出互为倒数的比。

题 2

比较三组边，再区分长度与面积。

题 3

先对面积比开正平方根。

题 4

已有两对相等角。

题 5

保留两边，改变它们的张开程度。

题 6

相似比为正。

题 7

比较长边与短边的比。

练习答案

题 1

可以说：新图形每条对应边都是原边的同一倍数，这个倍数叫相似比。从原图到新图和从新图到原图，倍数互为倒数，因此必须注明方向。

题 2

三组对应边比都是 2，由三边成比例判定相似。周长比 1:2，面积比 1:4；若写“后者除以前者”的数值，则分别为 2、4。

题 3

从小到大相似比为 4/3，对应长边 6\times4/3=8。

题 4

直角与 35^\circ 角各自相等，AA 判定相似。不必全等，边可以成任意正比例。

题 5

固定边为 2、3，分别让夹角为 90^\circ、60^\circ。第三边不同，故相似失败；说明角条件在两边比例判定中不可省略。

题 6

k^2=9 且 k>0，所以 k=3。对应高也是对应直角三角形的一条边，随相似变换乘 3。

题 7

长短边比分别为 3 与 4/3，不是同一形状，所以不相似。它反驳“面积相同就形状相同”，也说明面积不能单独决定相似。

如果你真的理解了

  • 为什么面积比取平方，而周长比不取平方？
  • 你能解释“对应”在相似定义里承担什么作用吗？
  • 若只知道两条边的比，你还需要什么条件才能可靠地判定相似？
  • 为什么相似直角三角形可以帮助我们定义只属于角度的边长比？