不好分解时，下一步怎么办？
求解 x^2+6x=7。试整数也许能找到 1，但我们想要一种不靠碰运气、也不会漏解的方法。
平方 (x+3)^2 展开是 x^2+6x+9。原式恰好少了 9：如果能把左边变成平方，问题就会退回已经会解的“一个数平方等于多少”。为什么补的是 9，而不是 6？
把长条分成两份
在 x>0 时，把 x^2 画成边长为 x 的正方形；把 6x 画成两个宽为 3、长为 x 的长条，分别贴在正方形上边和右边。两条长条围出的外轮廓想成为边长 x+3 的大正方形，还缺一个 3\times3 的角。
直觉解释： 图中的长度要求 x>0，所以它只负责解释“为什么是半个一次项系数的平方”。真正的代数恒等式可以通过展开证明，对所有实数 x 成立，包括负数。
试着把系数 6 改成 10：两条长条各宽 5，缺角面积应该是 25。一般一次项系数为 p 时，长条各分到 p/2，对应补项是 p^2/4。当 p<0 时，“贴正面积长条”的图不再合适，仍可使用下面的代数证明。
正式说法：配方是一种恒等改写
配方法是利用完全平方恒等式，把二次式改写成一个平方项与常数项之和。关键等式是
右边展开后，中间项是 2x\cdot p/2=px，常数 p^2/4 与减去的项抵消，剩下原式。这给出了严格理由。
“改写表达式”与“解方程”要区分：表达式里加了多少必须减回多少；方程一边加了多少，另一边也要加多少。它们都在保持原来的数学对象。
亲手把方程变成平方
对 x^2+6x=7，两边都加 9：
现在平方的是整个 x+3，所以 x+3=4 或 x+3=-4，得到 x=1 或 x=-7。代回原方程，分别为 1+6=7、49-42=7。面积图没画出负长度，但代数方法正确保留了负根。
从“能算”到“能读图”
把 x^2+6x-7 改写成 (x+3)^2-16，会暴露图像的中心位置与最低高度。下面演示缩小了参数范围，使用 y=(x+2)^2-1。固定 a=1，改变 h，比较平方里是 x-h 还是 x+h。
交互演示加载中。启用 JavaScript 后可调整参数观察变化。
这里展开为 x^2+4x+3，顶点为 (-2,-1)，根为 −3、−1。配方让同一个式子的几何结构更容易读出；这部分会在二次函数顶点继续。
三个例子
简单： x^2+2x=3，补 1，得 (x+1)^2=4，根为 1、−3。
标准： 2x^2-8x+3=0。先除以非零系数 2：x^2-4x=-3/2。补 4，得 (x-2)^2=5/2，所以 x=2\pm\sqrt{5/2}。先把二次项系数化为 1，是为了使用上面的标准恒等式。
反直觉： x^2+2x+2=0 配成 (x+1)^2=-1。配方已经成功，但实数平方不可能负，所以无实数根。方法成功并不保证存在解。
反例：只在左边补项会改变问题
把 x^2+2x=0 写成 (x+1)^2=0，看似完成了平方，实则左边多加了 1，右边没变。原方程的根是 0、−2，错误改写的根却是 −1。正确步骤是 (x+1)^2=1。这个反例暴露了“形式看起来好看”与“等价变形”之间的差别。
常见误解
- “补一次项系数的平方。” 中间项来自两个相同乘积，先取一半，再平方；6x 对应补 9，不是 36。
- “配成平方后只有正号。” 求解 u^2=r>0 时 u=\pm\sqrt r，两种情况都必须保留。
- “负数不能作为图中长度，因此负根不成立。” 图是有限的解释工具，代数恒等式才覆盖全部实数。
- “二次项有系数也直接补 (b/2)^2。” 先除以 a\ne0，一次项系数变成 b/a，再补 (b/(2a))^2。
它和哪些知识连接？
本文需要一元二次方程里的等式、实数根和乘积结构。配方之后，一条路通向判别式，判断平方右边的符号；另一条路通向二次函数顶点，寻找最值。它们是同一改写的不同用途。
练习
- 用自己的话说明配方时为什么要把一次项系数“先除以 2”。
- 在 x^2-10x 中应补什么？写出恒等改写。
- 用配方法解 x^2-4x=5。
- 用配方法解 3x^2+6x-6=0。
- 不求具体根，说明 x^2+4x+7=0 为什么没有实数解。
- 如果取消“方程两边加同一个数”的要求，只把 x^2-2x=0 改成 (x-1)^2=0，原来哪些解被丢掉了？又引入了什么错误解？
- 已知 x 为实数，解释为什么 x^2-6x+13 的最小值是 4；在哪里取得？
练习提示
题 1
展开 (x+t)^2，看中间项。
题 2
一次项系数是 −10，保留符号。
题 3
先补 4，两边都补。
题 4
先除以 3。
题 5
先写成平方加常数。
题 6
分别解原方程和被改变的方程。
题 7
利用实数平方非负。
练习答案
题 1
平方展开时出现两个 xt，合起来是 2tx。要匹配 px，就需要 t=p/2，因此缺少的常数是 t^2。
题 2
补 25，因为 (-10/2)^2=25。恒等改写为 x^2-10x=(x-5)^2-25。
题 3
两边加 4，(x-2)^2=9，所以 x=2\pm3，根为 5、−1。
题 4
除以 3 后 x^2+2x=2，加 1 后 (x+1)^2=3，得到 x=-1\pm\sqrt3。
题 5
左边等于 (x+2)^2+3，总是至少为 3，不可能等于零。
题 6
原式 x(x-2)=0，根为 0、2。错误方程只有根 1；它丢掉两个原根，加入了原式不满足的 1。正确形式是 (x-1)^2=1。
题 7
x^2-6x+13=(x-3)^2+4。平方项至少为零，且在 x=3 时确实等于零，所以最小值为 4。下界与能否取到，两点都要说明。
如果你真的理解了
- 面积拼图解释了哪一步？哪些实数情形不能直接由图证明？
- 你能区分“表达式中加减抵消”与“等式两边同步改变”吗？
- 为什么同一次配方既能帮助求根，又能帮助找最小值？
- 面对 ax^2+bx+c，你能解释平方中为什么会出现 b/(2a) 吗？