围栏一样长，面积怎样最大？

用 20 米围栏围一个长方形，设一条边为 x 米，另一条就是 10-x 米。面积

S=x(10-x)=-x^2+10x,\qquad 0<x<10.

试算 x=3,4,5,6,7，面积分别为 21、24、25、24、21。它似乎在 5 附近最好，两侧还对称。试算提出猜测，却不能保证没漏掉 4.9 或 5.01 这样的输入。

把“离 5 多远”暴露出来

配方得到

S=25-(x-5)^2.

这一步的目标是把“比最好的面积少多少”写清楚：它正好是边长偏离 5 的平方。平方非负，所以 S\le25；当 x=5 时等号确实成立，且 5 在允许的范围内。于是最大面积是 25 平方米，正方形取得它。

同样，x=5-d 与 x=5+d 的平方差都是 d^2，所以面积相同。对称不是看图猜出来后直接接受，而是平方结构保证的。

先移动图，再解释符号

在下面图形中，先固定 a=1，把 h 从 0 调到 2。哪个输入能让平方项变成零？再改变 k，观察这个特殊点的高度。

交互演示加载中。启用 JavaScript 后可调整参数观察变化。

最后把 a 改成 −1，对比最低点与最高点。特意调到 a=0 看看：图像退化成常数函数，不再有二次函数的唯一顶点。参数边界也是定义的一部分。

正式定义与顶点式

形如 y=ax^2+bx+c、a\ne0 的函数叫二次函数。本文在没有另行说明时，定义域是全体实数。配方可以写成

y=a(x-h)^2+k.

h 是平方项变成零时的输入，k 是此时输出，a 控制开口方向与相对顶点的竖向变化。

  • 对称轴是竖直直线 x=h，因为 h\pm d 的输出相同。
  • 顶点是 (h,k)。a>0 时它是最低点，a<0 时它是最高点。
  • a>0 时，全体实数上的最小值是 k；a<0 时，最大值是 k。

这里“a\ne0”保留二次结构；“全体实数”保证 h 被允许输入。如果情境限制定义域，必须重新检查顶点能否取到。

顶点坐标公式从哪里来？

从一般式提取 a，再按配方法补平方：

y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.

与 a(x-h)^2+k 比较，得到

h=-\frac b{2a},\qquad k=c-\frac{b^2}{4a}.

不要把平方里的加号忽略：x+b/(2a)=x-h，所以 h 带负号。公式是在寻找平方为零的位置，不是额外需要背住的神秘规则。

三个例子

简单： y=(x-2)^2+1，顶点 (2,1)，对称轴 x=2，最小值 1。

标准： y=2x^2-8x+3=2(x-2)^2-5，顶点 (2,-5)。x=1 与 x=3 同距顶点，函数值都为 −3。

反直觉： y=(x-2)^2+1 若只允许 3\le x\le5，整条抛物线的顶点仍是 (2,1)，但不属于这段图像。在允许区间里，x-2 从 1 增到 3，平方也增加；实际最小值是 x=3 时的 2。

重要反例：只有“下界”，未必有“最小值”

y=x^2 在 0<x<1 上始终大于零，也可以任意接近零，但输入 0 不被允许。假设某个 x 取得最小值，换成 x/2 仍在范围内，而且平方更小，产生矛盾。于是这段图像没有最小值，虽然 0 是一个下界。

这个反例纠正“写成平方就能直接报最小值”的习惯：要同时说明下界和取得条件。端点是否包含，不是可忽略的小字。

常见误解

  • “x+2 表示向右移 2。” 让括号为零的是 x=-2，所以顶点横坐标为 −2，是向左移。
  • “a<0 时顶点仍是最低点。” 负数乘平方为非正，顶点变为最高点。
  • “顶点横坐标就是最值。” 横坐标说明在哪里取得，纵坐标才是函数的最高或最低输出。
  • “应用题只要代顶点公式。” 还须检查允许的输入、单位、端点和是否能取到。

它和哪些知识连接？

函数图像提供输入与输出的语言，配方法提供改写工具。判别式把顶点位置与零点数连接起来。以后读导数，可以用变化率研究极值；这里用平方非负完成证明，不需要导数。

练习

  1. 用自己的话解释顶点式里 h、k、a 分别告诉你什么。
  2. 求 y=-3(x+1)^2+4 的顶点、对称轴与全体实数上的最值。
  3. 把 y=x^2-6x+5 配成顶点式，并求 x=2 的对称输入。
  4. 不画图，说明 y=2(x-1)^2+3 在 x<1 与 x>1 时怎样变化。
  5. 如果取消“定义域为全体实数”，只允许 0\le x\le1，y=(x-2)^2 的最小值是什么？
  6. 用 12 米围栏围长方形，面积怎样最大？写出定义域，并检查最优输入。
  7. 给出一个有下界却没有最小值的二次函数受限区间，并解释原因。

练习提示

题 1

从平方为零的位置与偏离量出发。

题 2

括号为零时 x 是多少？留意负的系数。

题 3

补 9；两个输入到对称轴距离相等。

题 4

比较输入到 1 的距离，避免只说“开口向上”。

题 5

顶点不在区间内，找最接近 2 的允许输入。

题 6

两条相邻边之和为 6。

题 7

去掉取得最低值的点。

练习答案

题 1

h 是使平方项归零的输入，k 是该位置的输出。离 h 距离为 d 时，输出与 k 的差是 ad^2，所以 a 决定偏离方向与大小。

题 2

顶点 (-1,4)，对称轴 x=-1，最大值 4，在 x=-1 取得；没有最小值，因为平方增大后乘 −3 可以任意小。

题 3

y=(x-3)^2-4，对称轴 x=3。2 离 3 一个单位，另一个输入是 4。

题 4

x<1 时，x 增大使到 1 的距离缩小，所以函数值下降；x>1 时距离增大，所以函数值上升。正的系数保留平方的大小顺序。

题 5

在 [0,1] 上，最接近 2 的输入是 1，最小值 (1-2)^2=1。顶点 x=2 不被允许。

题 6

面积 S=x(6-x)=9-(x-3)^2，定义域 0<x<6。x=3 被允许，两边都为 3 米，最大面积 9 平方米。

题 7

例如 y=x^2，0<x<1。0 为下界，却没有输入使输出为 0；任意候选输入 x 都被 x/2 给出的更小输出击败，所以没有最小值。

如果你真的理解了

  • 为什么把顶点向右移时，括号里反而出现减号？
  • 对称轴、顶点、最值与零点，你能分别指出它们是什么对象吗？
  • 为什么“平方非负”只能先给下界，还要检查等号能否成立？
  • 围栏问题中，实际定义域在证明最优答案时发挥了什么作用？