已知面积，怎样找回边长？
一个长方形的一条边比另一条长 3 米，面积是 10 平方米。设短边为 x 米，长边就是 x+3 米，于是
这里困难在于：未知数同时出现在两个相乘的因子里。一次方程里常用的“把未知数收到一边，再除以系数”，暂时不能直接隔离它。
先试整数：x=1 时面积为 4；x=2 时面积为 10。找到一个答案，却还没有解释它是不是唯一。
把“等于 10”改成“等于 0”
展开并移项，得到 x^2+3x-10=0。减去同一个数不改变等式成立的输入，所以这一步保留了全部解。
观察因式：寻找两个数，它们的和为 3，积为 −10；2 和 −5 合适。因此
乘积为零时至少一个因子为零：若两个实数都不为零，它们的乘积也不为零。于是 x=-5 或 x=2。这是理由，不只是解题口令。
负根代回原方程也成立：(-5)(-2)=10。但负数不能作为本题的实际边长，所以长方形的短边只能是 2 米。方程的解集与情境要求共同决定实际答案。
用图像看“寻找输入”
设 f(x)=x^2+3x-10。求方程的根，就是寻找输出为零的输入，即图像与横轴交点的横坐标。函数仍然是每个输入只有一个输出；允许两个输入产生同一个输出。
下面显示 y=a(x-h)^2+k。先观察默认图像，再把 k 从 −1 调到 0、1，猜零点个数怎样变化。
交互演示加载中。启用 JavaScript 后可调整参数观察变化。
直觉解释： 图像支持“二次方程可能有两个、一个或没有实数根”的猜测。屏幕范围有限，未看到交点不等于不存在；演示会另外列出根。一般结论还需要代数证明，见判别式文章。
什么才是一元二次方程？
只含一个未知数、整理后可写成
的整式方程，叫一元二次方程。a,b,c 是已知实数，x 是待求的未知数；a\ne0 保证最高次数确实是 2。把某个实数代入后使等式成立，这个数就叫方程的一个实数根。
b 或 c 可以为零。“二次”说的是整理后的最高次数，不是必须有三项。本文只讨论实数根。
三个层次的例子
最简单： x^2=9。平方为 9 的实数有 3 和 −3，所以两个根是 \pm3。写 \sqrt9=3 只是在取非负平方根，不能据此删掉负根。
标准例子： 2x^2-6x=0，先提取公因式：2x(x-3)=0，得到 0、3。不能直接除以 x：当 x=0 时除法没有意义，而且会丢根。
有点反直觉： (x-2)^2=0 只有一个不同的实数根 2。它叫二重根，表示因式出现两次；“二次”并不保证两个不同答案。
一个重要反例：写着平方，不一定是二次方程
(x+1)^2=x^2+5 展开后两边的 x^2 消掉，得到 2x+1=5，即 x=2。整理后是一次方程。这个反例提醒我们，次数必须在化简后判断，不能只看原式外观。
另外，x^2+1=0 没有实数根，因为任意实数的平方非负，左边至少是 1。不要从“方程写出来了”推断“一定能找到实数答案”。
常见误解
- “二次方程一定有两个不同根。” 重根和无实数根都可能出现；次数提供结构，不保证根的个数。
- “平方根符号已经包含正负。” \sqrt9 是 3；解 x^2=9 时另一步才是写 x=\pm3。
- “两边除以未知数总能简化。” 必须先保证除数不为零；否则可能丢掉原方程的根。
- “应用题算出负数就说明计算错了。” 代数根可能正确，但违反边长等情境限制；应该检验并筛选。
它和哪些知识连接？
必要前置只是整式展开、移项和乘积为零。想把根画出来，可以先读函数图像；它是图像解释的帮助，不是解本例的必需条件。配方法会处理不能轻易因式分解的方程；判别式会解释根的个数。
练习
- 不使用“最高次数为二”这句定义，用自己的话说明一元二次方程在寻找什么，并举一个实际问题。
- 判断 3x^2-12=0、x^2+2x=x^2+6、x^2=0 是否是一元二次方程。
- 解 x^2-5x=0，解释为什么不能先除以 x。
- 解 x^2+2x-8=0，并把每个根代入检验。
- 一个长方形长比宽多 1 米，面积为 6 平方米。求宽，并解释舍去某个根的原因。
- 如果定义里的 a\ne0 被删掉，方程 0x^2+0x+0=0 有多少个实数解？这会怎样影响“至多两个根”的说法？
- 若图像与横轴的交点是 (-2,0)、(4,0)，根是多少？“根是这两个点”为什么不够准确？
练习提示
题 1
从已知条件反找未知量，注意乘法中未知量可能出现两次。
题 2
先移项、合并同类项，再看最高次数。
题 3
提取公因式，保留因子 x。
题 4
找和为 2、积为 −8 的两个数。
题 5
宽记作 x，同时写出 x>0。
题 6
任意数乘以零都是零。
题 7
方程的根是未知数的值，图上点有两个坐标。
练习答案
题 1
一种说法是：已知一个量与自身或另一个含它的量相乘后的结果，我们反过来寻找哪些数满足条件。例如面积为 6、长比宽多 1 的长方形，其宽满足 x(x+1)=6。自己的解释应包含“满足等式的输入”，不能只说“找一个数”。
题 2
第一式是，a=3,b=0,c=-12。第二式化简成 2x-6=0，不是。第三式是，a=1,b=c=0，根为 0。
题 3
x(x-5)=0，根为 0、5。直接除以 x 会排除 x=0，只剩 5，丢掉一个合法根。
题 4
(x+4)(x-2)=0，根为 −4、2。代回分别得 16-8-8=0、4+4-8=0。
题 5
x(x+1)=6，即 (x+3)(x-2)=0。代数根为 −3、2；宽必须正，所以宽是 2 米。
题 6
任意实数都满足 0=0，有无穷多个实数解。因此“至多两个根”必须依赖 a\ne0，不能照搬到所有系数取值。
题 7
根是 −2 和 4。点是函数图像中的对象；根对应这些点的横坐标。
如果你真的理解了
- 为什么将面积方程移项成零，反而让问题更容易处理？
- 你能解释“函数输出唯一”与“方程有两个根”为什么不矛盾吗？
- 你能举出只有一个根、没有实数根、整理后不再是二次方程的三个例子吗？
- 为什么实际问题中的筛选不能代替代数方程的求解？