能不能先知道“有没有答案”？

比较 x^2-2x-3=0、x^2-2x+1=0、x^2-2x+2=0。它们只改变了常数项，却分别有两个不同根、一个重根、没有实数根。

逐个求根当然能判断，但若系数很大、带参数，先算出全部答案未免绕远。我们想找到一个由系数决定的量，一眼读出根的个数。

平方的三种可能

先配方：三个方程依次是 (x-1)^2=4、(x-1)^2=0、(x-1)^2=-1。

  • 平方等于正数，有一正一负两个开平方结果，对应两个不同的 x。
  • 平方等于零，被平方的量只能是零，对应一个不同的 x。
  • 平方等于负数，在实数范围内不可能。

这已经提示：根的个数由配方右边的符号控制。下面只改变 k，观察图像从穿过横轴，到刚好碰到，再到离开横轴。

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当 a=1,h=1 时，方程为 (x-1)^2=-k。图像是帮助建立猜测；正式结论要确认一般的 a 也适用，特别是 a<0。

判别式究竟判别什么？

对于实系数的一元二次方程

ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0,

定义 \Delta=b^2-4ac，叫根的判别式。它是一个数，依据三种符号情况判断实数根：

判别式 不同实数根的个数
\Delta>0 2
\Delta=0 1，称为二重根
\Delta<0 0

“实系数”让大小与正负有通常意义；a\ne0 保证配方时能除以 a，且仍是二次方程。\Delta 不是一个根，也不是图像的顶点高度。

正式证明：那个组合为什么是 b^2-4ac？

先除以非零的 a，移常数，再两边补 (b/(2a))^2，得到

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 =\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca =\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

通分的目标是把所有系数集中到同一分子。分母 4a^2 一定为正，所以右边的符号完全由分子控制。这个分子就是判别式。这也解释了为什么 a<0 不会让判断规则倒过来。

当 \Delta\ge0，开平方并移项得到熟悉的求根表达式

x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}.

若 a<0，从平方形式开出的两个结果与上式的正负标签可能互换，但两根组成的集合相同。\Delta=0 时两个表达式相同；它们不是两个不同根。

三个例子与一个反例

简单： x^2-9=0，a=1,b=0,c=-9，\Delta=36>0，有两个不同实数根，实际是 \pm3。

标准： 2x^2+3x+1=0，\Delta=9-8=1>0，两根为 (-3\pm1)/4，即 −1、−1/2。

反直觉： -x^2+2x-1=0 开口向下，却 \Delta=0，只有重根 1。“开口向下”本身不能决定交点个数。

重要反例： x^2-4x+5=0 的一次项为负，但 \Delta=16-20=-4，无实数根。仅观察一个系数的正负，不能判断根是否存在。配方后的 (x-2)^2+1 说明整个图像在横轴上方。

换一个角度：顶点高度与横轴

配方还给出

ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}.

顶点高度是 -\Delta/(4a)。当 a>0，\Delta>0 表示最低点在横轴下方，于是两边各穿过一次；当 a<0，同样的 \Delta>0 表示最高点在横轴上方，也有两次穿过。不要把“最低点”用于开口向下的图像。

常见误解

  • “判别式为负，方程没有任何意义。” 它只说明没有实数根；二次式与图像照样有定义。本文不引入复数根。
  • “判别式等于零，有两个不同答案。” 求根式的正负号此时都给同一个数，应区分重数与不同根个数。
  • “a<0 时三个判断要反过来。” 配方右边分母是 4a^2>0，判断不变。
  • “判别式大，两个根必定相距更远。” 两根距离是 \sqrt\Delta/|a|，还依赖 a。不同方程不能只比较 \Delta。

它和哪些知识连接？

必要前置是配方法，判别式就是配方后的符号检查。一元二次方程解释根的含义；函数图像与二次函数顶点提供位置解释。代数判断与图像判断描述的是同一关系。

练习

  1. 用自己的话解释为什么一个平方右边的符号，可以判断根的个数。
  2. 不求根，判断 x^2+6x+9=0、x^2+6x+10=0、x^2+6x+8=0 的不同实数根个数。
  3. 求 3x^2-x-2=0 的根，并用判别式预先判断。
  4. 方程 x^2-2x+m=0 分别在什么 m 值下有两个不同根、重根、无实数根？
  5. 如果取消 a\ne0，对 0x^2+2x+1=0 仍算出 \Delta=4>0。为什么“两根”结论会失效？
  6. 图像 y=-2(x-1)^2+3 有几个零点？不展开也解释，再算出判别式核对。
  7. 举出一个 b=0 但没有实数根的二次方程，反驳“一次项消失就一定有对称的两个实数根”。

练习提示

题 1

比较正数、零、负数的实数平方根情况。

题 2

三个式子的 b^2 都是 36。

题 3

小心 c 的负号。

题 4

写出 \Delta 关于 m 的表达式。

题 5

先把方程真正化简。

题 6

零点满足 (x-1)^2=3/2。

题 7

让常数项为正，二次项也为正。

练习答案

题 1

平方等于正数时，被平方的数可以一正一负；等于零时只有零；等于负数时没有实数能满足。加上固定平移不会改变对应输入的个数。

题 2

判别式分别为 0、−4、4，对应 1 个不同实数根（重根）、0 个、2 个。

题 3

\Delta=1+24=25>0，有两根。x=(1\pm5)/6，得到 1、−2/3。

题 4

\Delta=4-4m。m<1 有两个不同根，m=1 有重根，m>1 没有实数根。

题 5

实际是一次方程 2x+1=0，只有根 −1/2。证明和求根式都需要除以 a；a=0 不满足定理条件，所以不能套用。

题 6

平方等于正数 3/2，有两零点 1\pm\sqrt{3/2}。展开得 -2x^2+4x+1，\Delta=16+8=24>0，一致。

题 7

例如 x^2+1=0，b=0，但 \Delta=-4<0。关于纵轴对称不保证与横轴相交。

如果你真的理解了

  • 为什么判别式是三个系数的组合，而不是某一个系数？
  • 你能不背表格，从配方恢复三种判断吗？
  • 为什么开口方向与实数根个数是两条不同的信息？
  • 你能解释判别式为零时，图像“碰到横轴”与重根的联系吗？